1. Introduction
C’est un anglais, George BOOLE, qui le premier au XIXème siècle, a étudié les propriété de cet algèbre. On l’appelle donc communément algèbre de Boole.
Définitions :
- La fonction binaire est une application qui , à un mot binaire d’entrée X = xn-1...x0 associe une variable binaire y
- Un fonction binaire est dite combinatoire si pour une des combinaisons d’entrées correspond un seul état de la sortie. Dans ce cas la fonction est indépendante du temps.
- Un système logique combinatoire est un système qui possède plusieurs fonctions combinatoires. A partir d’un mot binaire d’entrée X = xn-1...x0 , ce système permet d’élaborer plusieurs variables de sortie : Y= ym-1...x0
Exemple :
soient A et B deux nombres décimaux compris entre 0 et 3. A et B sont codés en binaire naturel. Un système logique combinatoire doit réaliser le calcul du code binaire de la somme A + B
à Ce système logique combinatoire comporte :
4 variables d’entrées :
- a1 et a0 correspondant au code binaire naturel de A
- b1 et b0 correspondant au code binaire naturel de B
3 variables de sorties :
- s2, s1 et s0 correspondant au codage de (A+B)2 car la somme décimale est comprise entre 0 et 6 d’où un codage sur 3 bits
Les variables de sortie sont des fonctions logiques combinatoires des variables d’entrée.
Ce système combinatoire s’appelle un additionneur. Pour le concevoir, il existe des opérateurs et une algèbre qui permettent de décrire des équations binaires (ou équations logiques).
2. Les opérateurs de base
Il existe 3 opérateurs de base définis sur l’ensemble binaire S = {0,1} :
- L’opérateur OU, représenté par le signe ‘+’ : Opération logique de somme
- L’opérateur ET, représenté par le signe ‘.’ : Opération logique de produit
- L’opérateur NON, représenté par une barre ‘- ’ : Opération logique de négation ou de complémentation
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OU |
ET |
NON |
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0 + 0 = 0 |
0 . 0 = 0 |
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0 + 1 = 1 |
0 . 1 = 0 | |
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1 + 0 = 1 |
1 . 0 = 0 |
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1 + 1 = 1 |
1 . 1 = 1 |
Définitions :
- la somme logique de a et b, noté a + b, réalise le OU entre deux variables logiques (a + b se lit " a ou b "). On parle aussi d’union logique.
- le produit logique de a et b, noté a . b (qu’on note aussi ab), réalise le ET entre deux variables logiques (a . b se lit " a et b "). On parle aussi d’intersection logique.
- le complémentaire de a, noté
, réalise le NON de cette
variable logique se lit " a barre " ou " non a "
)
3. Les propriétés de base de l’algèbre binaire
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Règles |
Fonction OU |
Fonction ET |
| Commutativité |
a + b = b + a |
a . b = b . a |
| Associativité |
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c |
a . ( b . c ) = ( a . b ) . c |
| Distributivité |
OU par rapport à ET : a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c ) |
ET par rapport à OU : a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) |
| Élément neutre |
a + 0 = a |
a . 1 = a |
| Complémentaire |
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| Forçage (absorbant) |
a + 1 = 1 |
a . 0 = 0 |
Règles de base
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Règles |
Fonction OU |
Fonction ET |
| Involution |
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| Idempotence |
a + a = a |
a . a = a |
| Absorption 1 |
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| Absorption 2 |
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| Consensus |
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| De Morgan |
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Autres règles de l’algèbre binaire
Règle du complément :
Soit l’expression logique F.
L’expression
, complémentaire de F, s’obtient en permutant dans F les opérations OU en ET & ET en OU en en remplaçant chaque variable par son complément, sans oublier de placer ou de supprimer les parenthèses afin de maintenir la règle de hiérarchie des opérateurs
Exemple :
… =
